Sector
  • Havo bovenbouw
  • Vwo bovenbouw
  • Gymnasium bovenbouw
Vakgebied
  • Natuurkunde
Leerplankundig thema
  • Handreiking
  • Schoolexamen
  • Examenprogramma

Wiskunde

30-1-2018

Bij het modelleren speelt de wiskunde een essentiële rol. Deze rol is tweeledig:

  1. Mathematiseren: het beschrijven van de probleemsituatie in wiskundige termen. De beschrijving zal vaak meetkundig zijn in de fase van de conceptualisering. Een algebraïsche beschrijving zal in het algemeen dienen als basis voor wiskundige berekeningen. De bij natuurkunde meest voorkomende algebraïsche beschrijvingenzijn: ◦formules voor de verbanden tussen voorkomende grootheden die als variabelen in formules optreden; ◦(differentiaal-) of differentievergelijkingen om verbanden tussen veranderingen in grootheden vast te leggen. Deze veranderingen in grootheden worden in wiskundige verbanden weergegeven met het delta-symbool Δ
  2. Generen van uitkomsten: het uitvoeren van wiskundige berekeningen binnen een gegeven of zelf opgesteld model. Die berekeningen kunnen van algebraïsche, maar ook van rekenkundige aard zijn.

​Doelgericht modelleren vereist van leerlingen een passend wiskundig vaardigheids- en abstractieniveau.2

Aandachtspunten voor het modelleeronderwijs zijn:

Variabelen
Als leerlingen een variabele moeten definiëren door middel van een formule dan blijkt vaak dat zij niet goed weten wat het begrip variabele betekent en wat een formule eigenlijk is. Dit betreft niet alleen leerlingen in de onderbouw, maar ook de bovenbouw. De reden daarvoor kan zijn dat leerboeken gewoonlijk weinig aandacht besteden aan een uitleg van deze essentiële begrippen.3
Formules
Veel formules die in syllabi en leerboeken voorkomen worden daar gegeven in de eenvoudigste vorm. Om deze formules in een model te kunnen gebruiken moet er vaak een aanpassing plaatsvinden.

Een voorbeeld is de formule voor de veerkracht bij een trillend massa-veersysteem: Fv =−C⋅u, waarbij u=0 de evenwichtsstand is. Bij een massa die aan een veer hangt is de uitrekking van de veer in die evenwichtsstand echter niet nul, maar wordt bepaald door de massa en de veerconstante. Het wordt nog ingewikkelder als u ook gebruikt wordt om de positie van de massa aan te geven. Leerlingen moeten hiermee leren omgaan en zullen soms formules moeten aanpassen of zelfs nieuwe moeten opstellen.

Differentievergelijkingen
De kern van dynamische modellen wordt gevormd door differentiaal- of differentievergelijkingen.4 Dit heeft verschillende consequenties:

  • Zo is het in een leerlijn modelleren verstandig om vanaf het begin de formele Δ-notatie te gebruiken voor 'verandering van'. Leerlingen vinden een notatie-overgang van s = v⋅t naar Δx=v⋅Δt onnodig verwarrend.
  • Een tweede aspect is de vorm van de formules. Bij dynamisch modelleren gaat het om integratie van differentievergelijkingen, niet om differentiatie. Dat betekent dat bijvoorbeeld de vergelijking voor verplaatsing, snelheid en tijdsduur in een model wel in de vorm Δx=v⋅Δt  gebruikt wordt, maar niet in de vorm v=Δx/Δt.
    Voor leerlingen spreekt dit niet vanzelf, ze zijn immers bij gewone opgaven gewend om een formule in elke vorm te gebruiken. Dit kan problemen geven als leerlingen zelf een model moeten bouwen of uitbreiden.


 

Modelleren vergt een zeker wiskundig vaardigheids- en abstractieniveau. In het bijzonder zijn 'variabele' en 'functie' moeilijke begrippen. Het is noodzakelijk bij leerlingen de relevante wiskundige kennis te ontwikkelen door die apart te onderwijzen en te oefenen.5,6


1. J. Perrenet en B. Zwaneveld, The Many Faces of the Mathematical Modeling Cycle, J. of Mathematical Modelling and Application (2012)
2. O. van Buuren & K. Kortland in: Handboek natuurkundedidactiek; red: K. Kortland, A. Mooldijk & H. Poorthuis, Epsilon Uitgaven, Amsterdam (2017)
3. I. van Stiphout, The development of algebraic proficiency, proefschrift TUE (2011)
4. Relevante differentieformules per subdomein havo en vwo
5. P. Drijvers, Wat bedoelen ze toch met... modelleren? Nieuwe Wiskrant (2012)
6. O. van Buuren, Development of a Modelling Learning Path, proefschrift UvA (2014)